La parité

Soit {B; C; D; ... ; I} des nombres réels.
A un réel non nul
k un entier naturel
et x une varaible définie sur lR

Notation : x puissance n s'écrira x^n, par exemple x² s'écrira x^2

Logique : le signe "=>" signifie "implique"

f(x) = (Ax^2k) + [ Bx^(2k-1) ] + [ Cx^(2k-2)] + [ Dx^(2k-3) ] + ... + I => f est une fonction paire. (1)

f(x) = [ Ax^(2k+1) ] + [ Bx^(2k) ] + [ Cx^(2k-1)] + [ Dx^(2k-2) ] + ... + Ix => f est une fonction impaire. (2)

Pour l'instant cette affirmation me parrait évidente.
Mais, est-ce un axiome ou une propriété ?
et si c'est une propriété comment le démontrer ?

Citation :

Mais, est-ce un axiome ou une propriété ?

Un axiome c'est bcp plus fondamental que çà. Par rapport au préambule de Einstein, le préambule touche le cadran de la montre. L'axiome, c'est la connaissance qui se place dans des limites données...

Ce n'est pas un axipme car c'est démontrable (ca me fait penser a ce que l'on faisait en spé l'année derniére...). Voilou.

la j'avoue sans explication sa me dépasse mais sa a l'air intérésant comme truc
pb je ne sais pas se que said qu'un axiome

Nightmare Theater a écrit:

Ce n'est pas un axipme car c'est démontrable (ca me fait penser a ce que l'on faisait en spé l'année derniére...). Voilou.

Facile a dire, éssaye de me le démontrer, tu vas voir. J'ai bien bloqué sur ce problème.
A non, c'est bon, je crois qu'on peut le démontrer.
Je vais chercher une feuille et résultat dans 10 minutes.

C'est un axiome car pour le prouver il faut montrer que la dérivée de (1) est négative sur ]-oo; 0] et positive sur [0; +oo[ et que la dérivée s'annule en 0.
Or la dérivée donne (2) (ce qui vérifie la condition dans haut car c'est la définition de la fonction impaire)

A contrario, il faut montrer que la dérivée de (2) est positive sur lR et que la dérivée s'annule en 0.
Or la dérivée donne (1) (ce qui vérifie la condition dans haut car c'est la définition de la fonction paire)

Bon, j'ai repris tout le problème aujourd'hui et je me suis rendu compte que je suis complétemenyt à coté et qu'il y a des choses de fausses mais je reviendrais dessus tout à l'heur.

Les gars Vous auriez pu me dire que je faisais vraiment n'importe quoi !
Les deux formulations générales représentaient l'ensemble de tous les polynomes et on sait très bien qu'ils ne sont pas tous paire ou impaire !
Bon, je reprends tout depuis le début.

Soit B un nombre réel.
A un réel non nul
k un entier naturel
et x une varaible définie sur lR

Notation : x puissance n s'écrira x^n, par exemple x² s'écrira x^2.
"lim(a) f" se lit "limite en a de la fonction f".
Le signe "=>" signifie "implique" (attention, => est différent de <=> qui est une équivalence, c'est à dire qu'on peu y traduire par "si et seulement si").
"<>" signifie différent.

f(x) = (Ax^2k) + B (1)

(1) => f est une fonction paire, c'est à dire qui admet une symétrie axiale d'axe d, avec d : y=0.

f(x) = [ Ax^(2k+1) ] +B (2)

(2) => f admet une symétrie centrale de centre I (cas particulier : I = 0, on a alors une fonction impaire dont f'' n'est pas impaire mais à la forme de (2))

Dérivées :

n un entier naturel et compris entre [0; k]

Dérivées succèsives de (1) : f^(2n+1) est de la forme de (2) et f^(2n) est de la forme de (1), avec I = 0 pour n <> 0.

Dérivées succèsives de (2) : f^(2n+1) est de la forme de (1) et f^(2n) est de la forme de (2), avec I = 0 pour n <> 0.

Dérivée f^k (x) = A et donc f^(k+1) = 0

Limites :

lim(o) f = B
lim(oo) f = oo (le signe de la limite dépend (1) et (2) pour lim(-oo) et du signe de A en +oo et -oo)

goto deb ^^

Evidemment, vu comme ça, c'est juste mais ça fait moins impressionnant.

Je suis pas sur de bien comprendre mais je crois que tu veux parler de dévellopement limités.
En effet une fonction dérivable au voisinage de 0 admet un dévellopement limité au voisinage de 0 ce qui veut dire qu'elle ressemble à une fonction polynomiale.
on parle de dévellopement limité à l'ordre n.
Exemple
exp(x)=1+x+(x^2)/2+(x^3)/6+(x^3)epsilon(x) avec epsilon(x) ->0 quand x->0
est le D.L. d'exponentielle à l'ordre 3
Pour une fonction paire, le DL ne contient que des puissances paires
Pour une fonction impaire, le DL ne contient que des puissances impaires
La démo se fait par récurrence (exercice fait en colle jeudi aprem)
ex : cos(x) = 1-x+(x^3)/6 + (x^3)epsilon(x) avec epsilon(x) ->0 quand x->0
Voilou!

Pour la fonction exponentielle on dirait une méthode d'Euler sauf qu'on n'utilse pas la tangente mais une expression qui me fait penser à la dérive : f(a+h) = f(a) + hf'(a) + epsilon(h)
avec h = 0 et a = 0
Mais le reste (c'est à dire epsilon) est plus développer dans ton expression, les courbes sont très proches aux voisinage de 0. Ce que je trouve étonnant, c'est que cette partie du reste soit (x^2)/2+(x^3)/6 car ... Tiens ! c'est bizard, mais, ça ne serait pas une succèssion de primitives : la primitive de 1 donne x, celle de x donne x²/2, celle de x²/2 donne (x^3)/3, non ? (je n'ai pas fait le cour sur les primitives mais j'en déduit de ce que j'en ai entendu parler)

Bon, je reprend une troisièmle fois, après rectification de Sam.

(1) f(x) = (Ax^k) + [ Bx^k-1 ] + [ Cx^k-2) ] + ... + Hx² + I, avec k paire => fonction paire

f(x) = [ Ax^k ] + [ Bx^k-1 ] + [ Cx^k-2 ] + ... + Hx^3 + Ix, avec k impaire => fonction impaire.

(2) f(x) = [ Ax^k ] + [ Bx^k-1 ] + [ Cx^k-2 ] + ... + Hx^3 + Ix + J, avec k impaire => fonction admettant un centre de symétrie de centre M (0; f(0)), ce qui donne M (0; J)

En fait, le dévellopement limité vient de la formule de Taylor-Young qui donne la formule du dévellopement limitè à l'ordre n d'une fonction de classe Cn, c'est à dire dérivable n fois, mais comme j'ai la flemme d'aller chercher mon formulaire de physique, je vous propose d'aller voir sur wikipedia.
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor

Groupe Analogue a écrit:

C'est un axiome car pour le prouver il faut montrer que la dérivée de (1) est négative sur ]-oo; 0] et positive sur [0; +oo[ et que la dérivée s'annule en 0.
Or la dérivée donne (2) (ce qui vérifie la condition dans haut car c'est la définition de la fonction impaire)

A contrario, il faut montrer que la dérivée de (2) est positive sur lR et que la dérivée s'annule en 0.
Or la dérivée donne (1) (ce qui vérifie la condition dans haut car c'est la définition de la fonction paire)

La dérivée seconde d'une fonction paire est une fonction paire ! f'(x²) = 2x ; f''(x²) = 2 cela est valable pour toutes les puissances : la dévivée d'une fonction de la forme kx^n, (k € lR et n un entier pair) donne knx^n-1 avec n impair. Donc la dérivée seconde donne (2n-1 + k)x^n-2 n-2 est pair. Elle s'annule sur lR dans le cas de x² et pas seulement sur zéro.. j'espère que ca peut aider lol

Non, mais j'ai faux, j'ai fait des erreures de raisonnement, il ne faut regarder que mon dernier poste.

Eh! Vous savez que toute fonction définie sur ]-a ; a [ est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire?

Soit f : ]-a ; a [ -> |R
x |-> f(x)

f(-x) bien défini car l'intervalle est centré en 0

On a f(x) = ( f(x) + f(-x) ) / 2 + ( f(x) - f(-x) ) / 2

On a g : ]-a ; a [ -> |R
x |-> ( f(x) + f(-x) ) / 2

qui est paire

et h : ]-a ; a [ -> |R
x |-> ( f(x) - f(-x) ) / 2

qui est impaire

et f = g + h

Etonnant, non?

J'ai du mal à voir que f(x) = ( f(x) + f(-x) ) / 2 + ( f(x) - f(-x) ) / 2, est-ce vrai pour toutes fonctions définies sur ]-a;a[ ?

Bin regarde si tu dévellope ta les f (-x) qui s'annulent et f(x) = f(x)/2 + f(x)/2

C'est pas faut !
Démonstration comprise.

De plus, on peut montrer que cette décomposition est unique!