- sam a écrit:
- Il faut d'abord montrer que c(n) = (Somme (k=1 -> n-1),c(k)) + 1 (Somme pour k allant de 1 à n-1 des c(k), le tout +1)
On note d(p,n) une décomposition de n dont la somme des termes excepté le dernier est n-p.
On a pour tout p et pour tout n d(p,n)+p=n dont l'ensemble forme la totalité des décompositions de n : on a toutes les partitions dont la somme des termes excepté le dernier est n-p, p variant de 0 à n.
Le nombre de d(p,n) est en fait c(n-p) : c'est le nombre de partitions de n-p
Pour p=n, on a 1 décomposition.
Donc c(n) = (Somme (p=0 -> n-1),c(n-p)) + 1 ce qui correspond à la formule du début avec p=n-k
Avec ce résultat on peut démontrer que c(n) = 2^(n-1) par récurrence forte sur n
c(1)=1
2^(1-1)=1
La propriété est vraie pour n=1
Soit n quelconque fixé
On suppose que c(m) = 2^(m-1) pour tout m c {1..n}
c(n+1)=(Somme (k=1 -> n),c(k)) + 1
c(n+1)=(Somme (k=1 -> n),2^(k-1)) + 1
On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2, de n termes
c(n+1)=1*(1-2^n)/(1-2)+1=2^n
Conclusion : par le principe de récurrence forte sur n, on a montré que le nombre de partitions de n est c(n)=2^(n-1)
Ce résultat ne peut être montré que par une récurrence forte puisque l'on a besoin, pour prouver que Pn+1 est vrai, d'avoir une propriété vraie à tous les rangs précédents.
Pour la récurrence double c'est idem, on est obligé parfois pour montrer Pn+1, d'avoir les deux propriétés précédentes vraies.
Exemple (exo de DS):
Soit F l'ensemble des applications (fonctions) f : |R -> |R continues sur |R vérifiant la condition :
pour tout x,y de |R f (x+y) + f (x-y) = 2 ( f (x) + f (y) ) (1)
Montrer que (a) f(0) = 0
(c) pour tout n de |N, pour tout t de |R, f (nt) = n^2 f (t)
(a) On applique (1) avec y = 0
f (x+0) + f (x-0) = 2 ( f (x) + f (0) )
2 f (x) = 2 f (x) + 2 f(0)
Donc f (0) = 0
(c) Montrons par récurrence double sur n que "pour tout n de |N, pour tout t de |R,
f (nt) = n^2 f (t)"
pour n=0, f (0t) = f (0) = 0
0^2 f(t) = 0
pour n=1, f (1t) = f (t)
1^2 f(t) = f (t)
Donc vrai pour n=0 et n=1
Soit n quelconque fixé
On suppose que f ((n-1)t) = (n-1)^2 f (t)
f (nt) = n^2 f (t)
f ((n+1)t) = f (nt+t) = 2 ( f (nt) +f (t) ) -f (nt - t) par la relation (1)
= 2 f (nt) +2 f (t) - f ((n-1)t)
= 2 n^2 f (t) + 2 f (t) - (n-1)^2 f (t) par HR
= 2 n^2 f (t) + 2 f (t) - (n^2 - 2n +1) f (t)
= (n^2 + 2n +1) f (t)
= (n+1)^2 f(t)
Conclusion : par le principe de récurrence double sur n, on a montré que
"pour tout n de |N, pour tout t de |R, f (nt) = n^2 f (t)"
Et si on essaye de faire ici une récurrence simple, on aboutit pas. En fait, on se rend compte en rédigeant la récurrence que l'on a besoin d'une double lorsque l'on voit apparaitre f ((n-1)t)