[résolu] Equations différentielles

J'aurais besoin d'outil pour résoudre un problème en physique.

Est-ce que quelqu'un sait résoudre les equation de la forme ay''+by'+cy+d=0 ?
J'ai éssayé de trouver tout seul, j'ai aboutit sur une equation avec des cosinus (et des sinus simplifiés en utilisant le décalage de Pi/2)
(cos x)' = -sin x
= -cos (x+Pi/2)
et (cos x)''=-cos x

Mais je n'ai pas réussit à aller jusqu'au bout.

Y dit qu'il sait faire mais y dit aussi qu'il s'en souvien plus...

Alors, au début je sais que tu doit trouver la solution générale en résolvant

ax²+bx+c=0

une fois que tu as trouvé delta... Merde, faut que je regarde mon cours, pke ca change si il est supérieur, inférieur ou égal à zero...

oooh flo c pas bieeeeeeen

moi les eqau diff du second degré c'est la partie la plus facile de mon programme

je me la pète graaaaaaaaave graaaaaaaaaaave graaaaaaaaaaaaaaave

Ah oui, c'est bon, ça commence à me revenir, c'est le delta qui m'a fait tilter. On en avait parler en physique.
Mais je veux bien la démonstration et le théorème s'il te plait (respectivement s'il vous plait)

Effectivement ça se resout facilement mais flemme je dois avoir 4g dc si on resout : flemme

PS :

Tu me pardonneras la démonstration, ca fait 6 mois que j'ai pas foutu les pieds dans un cours de maths, alors pour la démo...chaud!

J'ai 27.5 demonstrations dans le cours d'equa diff... tu veux laquelle?

Il bvien d'ou le 0.5???

on n'a fait que le "chemin demonstrationnel" pour nous montrer la demarche.
le reste ... c'était trop trivial...

Juste comment résoudre une equation différentielle de la forme ay''+by'+cy+d=0.
Et je suis certain qu'il y a du cosinus dedans.

tu poses ay'' + by' + cy = -d
ensuite tu prends l'equation homogene (cad = 0)
tu poses l'equation caracteristique ar^2+br+c=0
si tu as un discriminant negatif tu auras des racines complexes et donc tu auras bien une histoire de cosinus dans ta solution generale...
tu as du flair

flemme de developper

On transforme les dérivées seconde en équation de carré, très étrange...

pas tant que ça parce que tes fonctions y a une histoire d'exponentielle dedans donc quant tu derives deux fois tu te retrouves avec un carré du machine qui est collé a ta variable dans ton exponentielle
f(x)=exp(t*x)
f''(x)=t^2*exp(tx)
d'ou ay''+by'+cy=exp de machin* (ax^2+bx+c)
tu factorises ton exponentielle, et comme une exponetielle n'est JAMAIS nulle c'est le reste qui est nul d'ou ax^2^+bx+c=0
clair?
desole pour les trucs, les machins et les bidules mais bon il est tard

assez clair.

mais

Citation :

ay''+by'+cy=exp de machin* (ax^2+bx+c)

Euh, là, jen'ai pas tout comprs, je pense que c'est parce la fonction exponentielle machin n'est pas au programme de terminal et que c'est certainement une extension de l'exponentielle dans les complexe ...

pof pof plouf, désolé pour le trip

nan mais c'est qu'a la place d'avoir un "x" tout con dans ta variable, tu peux avoir un truc plus ou moins enorme du genre ln(cos(arctan(x^2+ 1/x)))))
c'est pour ça que je disais "machin"
d'ailleurs a propos de machin on a seché sur un exo a propos de la formule de machin, personne n'en aurait entendu parler par hasard???

Je ne connais pas la fonction arctan, mais j'ai tout de même trouver la formule de Machin :

John Machin (1680 - 1752) est connu principalement pour avoir calculé en [1706] 100 décimales de pi grâce à la formule qui porte son nom, la formule de Machin :



Je suppose que arctan doit avoir un raport avec la tangente, une espèce de tangente courbe. (si ce n'est ps ça, c'est normal, j'ai dit ceci tout à fait au hazard)

Sisi, tu connais arc tan. C'est la réciproque de la tangente (sauf que vous vous l'écrivez tan^-1 )

ouais mais les profs ils preferent arctan. une question de domaine de definition je crois. quand on tape arctan(tan x) sur la calculatrice elle respecte plus les domaines de definition ou un truc dans le genre.

en tout cas merci pour la formule de machin... je vais re essayer de faire mon exo

De rien
Eh oui, pour arctan on m'avait déjà parlé de cette écriture, et on en a parler vite fait ce matin au CDI.

J'ai trouvé d'autre formules de Machin, celle que je t'ai donné est celle écrite par John Machin, toutes les formules de ce type ont ensuite portées le nom de formule de Machin. J'espère que je ne me suis pas trompé et que ça ne t'a pas pénalisé.

Mais pour en revenir à mon problème initiale, voir le nouveau sujet Circuit RLC partie physique !

nan ça m'a pas pénalisé du tout vu que j'ai pas retrouvé l'énoncé de mon exo...

Je relance ma question.

Après avoir calculer mon discriminant, j'en fait quoi ?

bon alors je vais essayer de te répondre

tout d'abord avant de commencer les équa diffs, un petit truc qui va t'amuser: les dérivée énièmes de sinus et cosinus
quelque soit n entier naturel, la dérivée énième de cos(x) =cos (x+n*pi/2) et la dérivée énième de sin(x)=sin(x+n*pi/2)
la démo se fait par récurrence, malheureusement je ne sais pas faire les exposants à l'ordi donc *****

ensuite revenons aux équadiff: je peux te parler que des equations différentielles linéaires du second ordre...
posons ay"+by'+cy+d=0 (E)

Toute solution d'une équation différentielle linéaire est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière.

Recherche des fonctions Fh solutions de l'équation homogène
l'équation homogène (H) associée à (E) est (H) ay''+by'+cy=0 (pas de second membre)
l'équation caractéristique associée à (H) est (EC) ar²+br+c=0
tu calcules le discriminant, que je note D

si D>0 ton équation admet deux racines réelles r1 et r2 et les solutions de (H) sont l'ensemble des fonctions {x-> A exp(r1 x) + B exp(r2 x) /(A,B) réels }

si D=0 ton équation admet une racine réelle double r et les solutions de (H) sont l'ensemble des fonctions {x -> A exp (r x) + B x esp(r x) / (A,B) réels }

si D<0 ton équation admet deux racines complexes conjuguées z1 et z2 tq z1= a+ib et z2=a-ib et les solutions de (H) sont de la forme {x -> A exp (z1 x) + B exp (z2 x) / (A,B) complexes } = { x -> A exp (a+ib) + B exp (a-ib) / (A,B) complexes} mais ce sont les solutions dnas C l'ensemble des complexes ce qui n'est pas très intéressant, (vas savoir pourquoi) donc on considère l'ensemble des solutions dans R l'ensemble des réels: { x -> A cos(b x) exp(a x) + B sin (b x) exp(a x) / (A,B) réels }

Recherche d'une solution particulière de (E):
soit Fp cette solution (NB :Fp est une fonction). On considère que Fp est solution donc a Fp"(x) + b Fp'(x) + c Fp(x) =-d
en prenant la forme présumée de F on développe et on obtient une solution particulière. Il y a trente six mille façons d'obtenir une solution particulière (on peut l'observer tout de suite, c'est bon aussi) donc je vais pas toutes les développer vu que tu verras ça l'année
prochaine...

donc l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions { x -> Fh (x) + Fp (x)}

NB tu m'as demandé la résolution d'une equa diff de la forme ay"+by'+cy+d=0, ce qui implique que (a,b,c,d) sont des constantes. Mais la plupart du temps on a affaire à des équations de la forme a(x)y"+b(x)y'+c(x)y+d(x)=0 où a,b,c,d sont des fonctions de R ou de C... vivent les equa diff

Ps: en colle cette année qqun a dû retrouver l'équation différentielle d'un tsunami! on voit que les maths ça peut servir parfois!

Merci beaucoup.
Bon, je n'ai pas encore tout lu mais en se qui concerne la solution dans C, seule la partie réelle est intéressante pour des raisons pratique, par exemple dans un circuit RLC, on utilise que la partie réelle de la solution pour tracer les courbes de uc(t).(car le discriminant est toujours négatif)