Logarithme Népérien

Démonstration made in Mikaël Peillon (arrangée par moi-même) :

On note e la fonction exponentielle, a appartient au entier naturel (voir relatif, mais j'ai la fleme de réfléchir là dessus maintenant) et x appartient aux réels

e^ax = (e^x)^a
On pose e^ax = b
e^x = racine a de b (je ne sais pas si c'est la syntaxe exacte)
donc ln de racine a de b = x

Or e^ax = b
donc ax = ln b
x = (ln b)/a

Donc (ln b)/a = ln de racine a de b

Merci Mikaël, mais domage que tu n'aie pas intenet.

Y dit qu'il a pas compris...

Logarithme et exponentielle vont boire un verre au bar?

qui paye??
























l'exponentielle bien sur, parce que le logarithme népérien!!

s'il a pas compris après cette image c'est qu'il est nul

le seul post de jess dans cette partie du forum : bahhhhhhhhhhhhhhhhhhhh les maths!!!!!!!!
ceci dit amusez vous bien!!!

- DarkStar - a écrit:

s'il a pas compris après cette image c'est qu'il est nul

Merci d'avoir rectifier mon erreure, je vais mettre mon extention que j'ai fait en étude ce matin, puis une nouvelle partie tout à l'heure.

Suite :

si on intègre b = e^ax, en dévelloppant on obtient x = ln de racine a de e^ax.
Je suis certain qu'on peut exploiter cette formule, je ne sais pas comment mais on trouvera.

Soit b = e^x/a, en simplifiant par la fonction ln on obtient : x = a ln b

de plus e^x/a = (e^x)^1/a = racine a de e^x

donc racine a de e^x = b
e^x = bâ donc x = ln (b^a)
donc a ln b = ln (b^a)

Voila, c'est finit pour le moment, avec mikaël, on a fait toutes les démonstrations avant le cours et encore, pendant le cours on est pas aller jusque là (on s'arrêtait juste au cas ou a=2)

Pour a ln (b) = ln (b^a) tu peux le démontrer de maniére bcp plus simple...

sachant que ln (b) + ln (b) = ln (b²) alors a ln (b) = ln (b^a) .

Fini

Moui effectivement... j'ai vérifié cela sur papier...

Nightmare Theater a écrit:

Pour a ln (b) = ln (b^a) tu peux le démontrer de maniére bcp plus simple...

sachant que ln (b) + ln (b) = ln (b²) alors a ln (b) = ln (b^a) .

Fini

de manière plus générale :

lnb + lnb = ln (b x b) (règles de calcul du log)
lnb + lnb + lnb = ln(b x b) + lnb = ln(b²) + lnb

par cascade additive :

lnb + lnb + lnb + ... + lnb = ln(b^n-1) + lnb = lnb^n
|______n fois__________|

Je ne sais pas si votre méthode est aussi rigoureuse (Celle de flo je suis à peu près sûr que non parce que tu fonctonne par induction)

Dison qu'elle ré-utilise un truc démontré avant... Et puis j'vais pas te dire ou je me mets la rigueur mathématique, ce serais obscéne .

En fait on n'utilise pas les racines aièmes en maths.
Petite mise au clair :
différence entre la fonction radical et les racines.
Les racines nièmes d'un nombre sont les nombres qui élevés à la puissance n valent le nombre :
1 et -1 sont les racines carrées (deuxième) de 1
1, -1, i et -1 sont les racines quatrièmes de 1
2 est une racine cubique de 8 (il existe 2 autres racines complexes)
etc...
Si on travaille avec les nombres complexes, tout nombre admet n racines nièmes

Les fonctions radical nièmes sont des fonctions qui vont de R+ dans R (ou R+) , eventuellement prolongeables sur tout R (notamment si n est un entier impair) et qui à un nombre donné associent son unique racine nième positive.
ex:
radical carré ( ou radical 2è ou radical) de 2 (nombre qui est couramment appelé racine de 2)
radical 4ième de 16 = 2
radical nième de 1 = 1
radical de -1 n'existe pas (alors que les racines carrées de -1 sont i et -i)

En fait, voila ou je voulait en venir : ce que tu appelle racine a de b et qui est en fait radical aième de b n'est qu'une notation. en fait, on a
radical aième de b = b^(1/a)= exp ((1/a) ln b)

La fonction puissance est elle même une notation lorsue l'exposant n'est pas entier.
a^b=exp(a ln b)
Donc tout ce que je voulais dire c'est que tout ce que vous démontrez n'est en fait qu'un changement de notation. Désolé.

Coïyl a écrit:

Logarithme et exponentielle vont boire un verre au bar?

qui paye??
























l'exponentielle bien sur, parce que le logarithme népérien!!

logarithme et exponentielle sont sur un bateau. Le bateau dérive. Exponentiele dit :"Moi je m'en fout, ça ne me fait rien'

sam a écrit:

Donc tout ce que je voulais dire c'est que tout ce que vous démontrez n'est en fait qu'un changement de notation. Désolé.

J'ai compris en fin d'année pourquoi tu nous as dit ça.

Citation :

logarithme et exponentielle sont sur un bateau. Le bateau dérive. Exponentiele dit :"Moi je m'en fout, ça ne me fait rien'

elle dit qu'elle a pas compris la blague

parce que [epx (x)]'=exp (x)
On la dérive et ça fait la même chose.

oh purée

bien vu respect

c'est de toi?

De notre classe.

bah bravo

oui,

exp(x) = 1 + x + x²/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + x^n.€(x)

car, toute dérivée énième de exp(x) est égale à exp(x)
normal, cela se déduit de tout ce qui a été dit précédemment.