On se propose d'examiner les "idées toutes faites", souvent fausses, au sujet des mathématiques, à l'aide d'exemples tirés des mathématiques, certains datant de l'Antiquité, d'autres plus récents. On montrera pourquoi les bonnes mathématiques, loin d'apprendre l'obéissance et l'application disciplinée de règles immuables, sont subversives. On expliquera comment les mathématiques relèvent tout autant de la passion, de l'imagination, de l'esthétique, que de la froideur et de l'implacable logique. Comment elles s'intéressent au monde réel, comment elles y dénichent leurs sujets, comment elles mettent de l'ordre dans le chaos, disqualifient parfois le bon sens, et produisent les rêves parmi les plus extraordinaires de l'histoire de l'humanité.